y 5 0 obj + + y PDF Problemas resueltos de c alculo en varias variables reales x Un hiperboloide de una hoja con algunas de sus superficies de nivel. Creative y 2 2 , 2 2 que se anulen en \(a\) no significa que \(a\) sea un extremo, pero es un requisito indispensable. Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike License , 2 2 c + La curva de nivel de una funcin de dos variables f(x,y)f(x,y) es completamente anloga a una lnea de contorno en un mapa topogrfico. 2 y 4 ( x 2, f , Si calculamos f(0,163)f(0,163) da como resultado 256.256. , endobj 2, g 2, f f 2 y 2. 8 Extremos ejercicios resueltos - Extremos de funciones de varias + 3 2, g 08. Ejercicios de Mximos y mnimos de funciones de varias variables x Condiciones Necesarias para la existencia de extremos locales de funciones derivables. , f 3 , x x 4 x Cuando se trabaja con una funcin de dos o ms variables, se trabaja con un disco abierto alrededor del punto. Un tanque de oxgeno est construido con un cilindro recto de altura yy, y el radio xx con dos hemisferios de radio xx montado en la parte superior e inferior del cilindro. = Luego la ecuacin queda. , FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Escuela Universitaria de Ingeniera Tcnica Industrial Bilbao 1. x 2 + Evaluamos las derivadas parciales segundas en dicho punto: Con lo que, aplicando el teorema, el punto es un mnimo relativo. = 4 2 y /BitsPerComponent 8 = x x + ( 2 << /S /GoTo /D [22 0 R /Fit] >> + x TspOM( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ([Y5-U[|$zo_'K c 2 y , = L1L1 es el segmento de lnea que une (0,0)(0,0) y (50,0),(50,0), y se puede parametrizar mediante las ecuaciones x(t)=t,y(t)=0x(t)=t,y(t)=0 por 0t50.0t50. , 3 x x Sin embargo, cuando la funcin tiene tres variables, las curvas se convierten en superficies, por lo que podemos definir superficies de nivel para funciones de tres variables. Ejercicio resuelto paso a paso.Descarga los apuntes en:http://goo.gl/xJ0qjmSuscrbete en: http. La curva de nivel correspondiente a c=2 c=2 se describe mediante la ecuacin. 2 2 x y 36 ; , f x + x El rango de gg es el intervalo cerrado [0,3].[0,3]. c y Un punto es un extremo relativo si es un extremo en un entorno de dicho punto. ( + Las tres trazas en el plano xz xz son funciones de coseno; las tres trazas en el plano yz yz son funciones de seno. ( 2 Mximos y mnimos absolutos de funciones de varias variables sobre = 2 En la ecuacin de Laplace, la funcin desconocida u tiene dos variables independientes x y y. 1, f = Utilice la tecnologa para graficar z=x2 y.z=x2 y. Dibuje lo siguiente encontrando las curvas de nivel. z x x y /Filter /FlateDecode ) y Esta ecuacin describe un hiperboloide de una hoja como se muestra en la siguiente figura. y 7 = 13 Supongamos que deseamos graficar la funcin z=(x,y).z=(x,y). 10 2 (Extremos de funciones de dos variables) y W(x,y)=4x2 +y2 .W(x,y)=4x2 +y2 . x x y 2 = x x = 1, f 8 x ) y y X57UnBGKJSl%hyCg@:k"$Tb y 120 f Entonces, es necesario hallar el valor mximo y mnimo de la funcin en el borde del conjunto. 4 En los siguientes ejercicios, evale cada funcin en los valores indicados. endobj Definimos g(t)=f(x(t),y(t)):g(t)=f(x(t),y(t)): Esta funcin tiene un punto crtico en t=1,t=1, que corresponde al punto (1,25),(1,25), que no est en el dominio. = x x Por lo tanto, el grfico de la funcin ff se compone de triples ordenados (x,y,z).(x,y,z). 4 Mtodo de Resolucin: puntos crticos y de silla, condicin suficiente de la existencia de extremos relativos y matriz Hessiana. y x 2 f x 4 3, f , El grfico de f(x,y)f(x,y) es tambin un paraboloide, y este paraboloide apunta hacia abajo como se muestra. 13 0 obj x = Esta es una funcin polinmica en dos variables. Esta funcin tiene dos variables independientes (xyy) y una variable dependiente (z). 2 e5`&9L% 5M0$| mf7=4o4MO sb-+QR I^#[ ;6prTo`#"R_d@&k]M}qz||1dO-;osJ9>1,M8t\/-8gxx1}XgjV O!PkA x = , ) + + = ) 2 + 17 0 obj , 3 ) 2 + ) + La compaa Pro-TT ha desarrollado un modelo de ganancias que depende del nmero x de pelotas de golf vendidas al mes (medido en miles) y del nmero de horas al mes de publicidad y, segn la funcin. y w , , y ( = Puesto la funcin se anula en dicho punto, estudiamos su signo en , y y x ( y y 2 Exprese el volumen del tanque como una funcin de dos variables, xyy,xyy, halle V(10,2 ),V(10,2 ), y explique lo que significa. Para las funciones de dos o ms variables, el concepto es esencialmente el mismo, excepto por el hecho de que ahora estamos trabajando con derivadas parciales. + x , Ejemplos de funciones de varias variables. x 2 . x x + Exprese TT en funcin de xyy.xyy. 3 Dibuje un grfico de esta funcin. x 2 2 2 mar. ( y ) cp+_sH{2@i4d7L.o?AOCc0Q[1{"$JlMl"$[1ePhxm(*J|bi-8[- qUN%A+se_Si''8Up,oyN"$woNW^"3D[z x, f z ) ) Halle las trazas verticales de la funcin f(x,y)=senxcosyf(x,y)=senxcosy correspondiente a x=4,0,y4,x=4,0,y4, y y=4,0,y4.y=4,0,y4. 16 , Halle el punto de la superficie f(x,y)=x2 +y2 +10f(x,y)=x2 +y2 +10 ms cercano al plano x+2 yz=0.x+2 yz=0. La Figura 4.8 es un grfico de las curvas de nivel de esta funcin correspondiente a c=0,1,2 ,y3.c=0,1,2 ,y3. Utilice esta constante para determinar la temperatura en el punto Q(3,4).Q(3,4). 2, z=f(x,y)=x2 +y2 ,z=f(x,y)=x2 +y2 , c=3c=3, f(x,y)=y+2 x2 ,f(x,y)=y+2 x2 , c=c= cualquier constante. x x Extremos Libres De Funciones De Varias Variables - Unne y 2 6, f y 5 , 1 x Evale V(2 ,5)V(2 ,5) y explique lo que significa. Extremos de funciones de dos variables Ejercicio 5.9.Determinar los extremos relativos de f(x;y) =1 3px2+y2: RESOLUCIN. La determinacin del dominio de una funcin de dos variables implica tener en cuenta las restricciones de dominio que puedan existir. Lo mismo ocurre con las funciones de ms de una variable, como se indica en el siguiente teorema. + 3 para todos los puntos (x,y)(x,y) dentro de un disco centrado en (x0,y0).(x0,y0). 5 y x ) x = En primer lugar, elegimos un nmero cualquiera en este intervalo cerrado, por ejemplo, c=2 .c=2 . 4 2 S( ( ( ( o:o1iK1q7_kWOwOI>=nc^9]=kM S $ ?;/I5E}*~ 0j' `?2O*(] `?2O dXTQ$;#w d_{~ .u}NmGP{ZB"@ ?;+w'5 0OYIs^^`i3FA-[wQE|aEPEPEPEPEPEPEPEPEPEPEPEPEPEvs!6P2M ~m~_mGVlES* |5yW&" .O$$MVlRX :5(c4cJamF&" (MS'%*m'># /'>$0j'rdnuO5O 5Ok9W`d}YZPL,hFI2 |= ?[z|"\ds|LUI. EW9QE QE QE QE QE QE |qh6=2{5Y.#r5 q W2+>8f?s_O-O(7N2tN |>'K/&Kl|TqcW/t~-|NXR7|XG^CEWX,2~z )-}Q|D//=fWki-D&y{%>6? A1i%yY = y ( 2 TEOREM 101 Propiedades Lmite Bsico de Funciones de Dos Variables Dejar b, x0, y0, L y K ser nmeros reales, dejar n ser un entero positivo, y let f y g ser funciones con los siguientes lmites: Se mantienen lim ( x, y) ( x0, y0) f(x, y) = L \ and\ lim ( x, y) ( x0, y0) g(x, y) = K. los siguientes lmites. ( :74k!a{%k5j = 2 3 , x , f , ( ) /Type /XObject y x 4 0 obj << Halle los valores de xx como yy que maximizan la ganancia y halle la ganancia mxima. 3 1, g f Utilizando la funcin de temperatura encontrada, determine la constante de proporcionalidad si la temperatura en el punto P(1,2 )es50C.P(1,2 )es50C. Al graficar una funcin y=f(x)y=f(x) de una variable, utilizamos el plano cartesiano. Limites en varias variables. Ejercicios resueltos Parte 1 0 Recomendamos utilizar una x Nuestro primer paso es explicar qu es una funcin de ms de una variable, empezando por las funciones de dos variables independientes. + x y x f y 0 Falta el origen. Adems, este es el nico ( 2 Parte General (Francisco Muoz Conde y Mercedes Garca Arn), Goodman and Gilman's Manual of Pharmacological Therapeutics (Laurence Brunton; Donald Blumenthal), Ejercicio de seminario - Modelo entidad-relacin extendido, Ejercicio A. Detalles de entibaciones y ejercicios de empujes Resolucin, Calidad del Software - Tema 4 - Modelos y Caracteristicas de Calidad del Software, Colecccion 1 Ejercicios Normalizacion soluciones, de volumen con forma de paraleleppedo. x x x ) Introduccin - Funciones de varias variables - Curvas de nivel 02. y , Consulte el problema anterior. y La prueba de la segunda derivada para una funcin de dos variables, enunciada en el siguiente teorema, utiliza un discriminante DD que sustituye a f(x0)f(x0) en la prueba de la segunda derivada para una funcin de una variable. x y ) cos ) (3,2 ). y f y y 2 , Examinar los puntos crticos y los puntos lmite para calcular los valores mximos y mnimos absolutos de una funcin de dos variables. y + 4 + , ) donde zz se mide en miles de dlares. ) Si la desigualdad anterior se cumple para cada punto (x,y)(x,y) en el dominio de f,f, entonces ff tiene un mximo global (tambin llamado mximo absoluto) en (x0,y0).(x0,y0). , x + Sin embargo, es til echar un breve vistazo a las funciones de ms de dos variables. y f x y , y debe atribuir a OpenStax. 4, w El contenido de los libros de texto que produce OpenStax tiene una licencia de Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike License . f(x,y)=14x2 y2 ,P(0,1)f(x,y)=14x2 y2 ,P(0,1) grandes. y + = 2 y Observe que en la derivacin anterior es posible que hayamos introducido soluciones adicionales al elevar al cuadrado ambos lados. y ) De forma similar, podemos sustituir los valores de y y en la ecuacin f(x,y)f(x,y) para obtener las trazas en el plano yz,yz, como se indica en la siguiente tabla. En las dos primeras ecuaciones, la funcin desconocida u tiene tres variables independientes, t, x, y y, y c es una constante arbitraria. 0 f ( } !1AQa"q2#BR$3br + La superficie de nivel se define por la ecuacin 4x2 +9y2 z2 =1.4x2 +9y2 z2 =1. c x 2, f 5 y x r. x x ( ( Una traza vertical de la funcin puede ser el conjunto de puntos que resuelve la ecuacin f(a,y)=zf(a,y)=z para una constante dada x=ax=a o f(x,b)=zf(x,b)=z para una constante dada y=b.y=b. + x , x y + 2 , x 30 x Nos basaremos, bsicamente, en dos teoremas: Si la funcin \(f\) admite derivadas x 2 2 Tambin examinamos las formas de relacionar los grficos de las funciones en tres dimensiones con los grficos de las funciones planas ms conocidas. x 4 Halle el punto en el plano 2 xy+2 z=162 xy+2 z=16 que est ms cerca del origen. Volviendo a la funcin g(x,y)=9x2 y2 ,g(x,y)=9x2 y2 , podemos determinar las curvas de nivel de esta funcin. Notemos que la funcin nunca es negativa por ser la suma de potencias pares, por tanto, el punto crtico debe ser donde se anula la funcin y, por tanto, se trata de un mnimo absoluto. = + e ) , 2 x Para aplicar la prueba de la segunda derivada para hallar los extremos locales, siga los siguientes pasos: Halle los puntos crticos de cada una de las siguientes funciones y utilice la prueba de la segunda derivada para hallar los extremos locales: Por lo tanto, x=1x=1 o x=3.x=3. y Las lneas que estn muy juntas indican un terreno muy escarpado. 2 x , 4 y ) , y Khan Academy es una organizacin sin fines de lucro, con la misin de proveer una educacin gratuita de clase mundial, para cualquier persona en cualquier lugar. ) x Aqu hay algunos ejemplos donde se presentan funciones de varias variables: Ejemplo 1: de la posicin a la temperatura. Por tanto, aplicando el teorema, se trata de un mximo relativo. y x , = 2 Este punto no es del dominio de f.f. y ) 3 3 y y 2 x 2 ) Extremos relativos y absolutos de una funcin - YouTube 2 g c x 2 h + + y /Filter /FlateDecode 1 y y ( 2 x 2 ) , Esta funcin tiene un punto crtico en x=0,x=0, dado que f(0)=3(0)2 =0.f(0)=3(0)2 =0. Ejemplos de superficies que representan funciones de dos variables: (a) una combinacin de una funcin potencia y una funcin de seno y (b) una combinacin de funciones trigonomtricas, exponenciales y logartmicas. z x y y 2 Nuestra misin es mejorar el acceso a la educacin y el aprendizaje para todos. x w 2 %PDF-1.5 4 Halle tres nmeros positivos cuya suma es 27,27, de manera que la suma de sus cuadrados sea lo ms pequea posible. Supongamos que z=f(x,y)z=f(x,y) es una funcin de dos variables para la que las derivadas parciales de primer y segundo orden son continuas en algn disco que contenga el punto (x0,y0).(x0,y0). , x y y x f que anulan las derivadas parciales. Supongamos que fx(x0,y0)=0fx(x0,y0)=0 y fy(x0,y0)=0.fy(x0,y0)=0. x 3 extremo con respecto a los puntos cercanos. ; ) x x ( x y 4, w x f = + , 3 + Espacios vectoriales, Modelo de Demanda de modificacin de medidas, Ejercicios gramtica resueltos exmenes Oxford, ComparacioN DE LAS Principales Teorias DEL Desarrollo, 223359147 Inorganica Ejercicios Hidroxidos Con Soluciones, Casos Prcticos 1-26, 2015 con resspuestas.doc, 05lapublicidad - Ejemplo de Unidad Didctica, Sullana 19 DE Abril DEL 2021EL Religion EL HIJO Prodigo, Ficha Ordem Paranormal Editvel v1 @ leleal, La fecundacin - La fecundacion del ser humano, Examen Final Prctico Sistema Judicial Espaol. + x + g 2 y = El rango de ff es el conjunto de todos los nmeros reales zz que tiene al menos un par ordenado (x,y)D(x,y)D de manera que f(x,y)=zf(x,y)=z como se muestra en la siguiente figura. e 1 , 2 + Entonces, la Ecuacin 4.1 se convierte en. El dominio de ff se compone de pares de coordenadas (x,y)(x,y) que producen una ganancia no negativa: Se trata de un disco de radio 44 centrado en (3,2 ). y x x ) Cuando tenemos todos estos valores, el mayor valor de la funcin corresponde al mximo global y el menor valor de la funcin corresponde al mnimo absoluto. ( x 2 x 2 y , Sin embargo, el que ff no tiene un valor extremo en x=0.x=0. y x y Cuando x=3x=3 y y=2 ,y=2 , f(x,y)=16.f(x,y)=16. ; + x , 2 36 , 3. /Parent 44 0 R x Una vez ms, definimos g(t)=f(x(t),y(t)):g(t)=f(x(t),y(t)): Esta funcin tiene un punto crtico en t=2 9,t=2 9, que corresponde al punto (50,2 9). + Cada lnea de contorno corresponde a los puntos del mapa que tienen igual elevacin (Figura 4.7). 2 Los dems valores de zz aparecen en la siguiente tabla. 3 funcin en un entorno de ste, por ejemplo, en los ejes. y ; 2 En Mximos y mnimos demostramos que los extremos de las funciones de una variable se dan en los puntos crticos. y z 2 f Diferencial de una funcin de dos variables - Diferenciales sucesivos 04-2. PDF Problemas Resueltos de Funciones z Para simplificar, supongamos que k=1k=1 y hallemos las ecuaciones de las superficies de nivel para E=10yE=100.E=10yE=100. , endobj Halle el dominio y el rango de cada una de las siguientes funciones: Calcule el dominio y el rango de la funcin f(x,y)=369x2 9y2 .f(x,y)=369x2 9y2 . ln V ( 2 2 Estas esquinas estn situadas en (0,0),(50,0),(50,25)y(0,25):(0,0),(50,0),(50,25)y(0,25): El valor crtico mximo es 648,648, que se produce en (21,3).(21,3). = ( 4 2 y f y 7 ) 9 4 ^_AG=.gY[">{ b@w^#?@$JNZPC/u\@?^qT%3T|-{k*s!5+$Hp?t1Ae aJ?B5 lxmX8VyAR"~5,yQhK("(1U1i8YfhFY(8"A? y x ) x x OpenStax forma parte de Rice University, una organizacin sin fines de lucro 501 (c) (3). x , 2 = 2 Entonces f tiene un mximo local en (x0,y0)(x0,y0) si. x 3 , ( 2 , Regla de la segunda derivada. 1.Calcular las derivadas parciales de primer y segundo orden de las siguientes funciones: Usaremos la notacin f0 ) ( x 0 x + ( , w 3, f + L3L3 es el segmento de lnea que une (0,25)y(50,25),(0,25)y(50,25), y se puede parametrizar mediante las ecuaciones x(t)=t,y(t)=25x(t)=t,y(t)=25 por 0t50.0t50. Mientras ms trates de modelar el mundo real, ms te dars cuenta de lo restrictivo que es el clculo de una sola variable. lmites 10 funciones de varias variables ejercicio resuelto parte 2 c [T] f(x,y)=sen(x)sen(y),x(0,2 ),y(0,2 )f(x,y)=sen(x)sen(y),x(0,2 ),y(0,2 ). c 2 = ) en los intervalos. ) 2 2 1 8 ) , y x y , Esto da. y 8 z = 3 ) = El dominio, por tanto, contiene miles de puntos, por lo que podemos considerar todos los puntos dentro del disco. = y El nombre de OpenStax, el logotipo de OpenStax, las portadas de libros de OpenStax, el nombre de OpenStax CNX y el logotipo de OpenStax CNX no estn sujetos a la licencia de Creative Commons y no se pueden reproducir sin el previo y expreso consentimiento por escrito de Rice University. 2 x y 2, f y y 2 ( 25 , x y Mtodo de Resolucin Nos basaremos, bsicamente, en dos teoremas: Puntos crticos: segn teorema, , 2 ) y = 2 , ( Qu son las funciones multivariables? (artculo) | Khan Academy , ( 1999-2023, Rice University. , /Length 1265 y ( Desea citar, compartir o modificar este libro? e 2 x ( y y f y 2. , x = 2 Supongamos que z=f(x,y)z=f(x,y) es una funcin diferenciable de dos variables definida en un conjunto cerrado y delimitado D.D. x y endobj ( , 9 = La Figura 4.10 muestra un mapa de lnea de contorno para f(x,y)f(x,y) utilizando los valores c=0,1,2 ,y3.c=0,1,2 ,y3. , , x x 4 4 ( No hay valores ni combinaciones de, Esta funcin tambin contiene la expresin. = + En los siguientes ejercicios, determine los valores extremos y los puntos de equilibrio. /Width 1091 x f x x 3, f y = = en el dominio definido por 0x2 0x2 y 1y3.1y3. 2 ( y ( Cules son el dominio y el rango de f?f? 2 Como y = 0 , de la primera ecuacin tenemos, Por tanto, el Hessiano en dichos puntos es. x + y + x = 1 Supongamos que y = 0, con lo que se cumple la primera ecuacin y, de la segunda, tenemos que = Halle el extremo absoluto de la funcin dada en el conjunto cerrado y delimitado indicado R.R. x x